Image 3D d’une sphère réduite : des chercheurs grenoblois et lyonnais relèvent le défi

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FOCUS – Pour la première fois, des scientifiques grenoblois et lyonnais du Centre national de la recherche scientifique (CNRS) sont parvenus à créer une image 3D d’une sphère réduite. Au-delà de l’exploit mathématique, leurs résultats, publiés cet été dans la revue Foundations of Computational Mathematics, révèlent des perspectives d’application inédites dans les domaines de la physique et de la biologie.

 

 

Sphère réduite qui préserve les longueurs des courbes de la surface initiale. © Projet Hévéa

Sphère réduite qui préserve les longueurs des courbes de la surface initiale. © Projet Hévéa

Imaginez la surface de la planète Terre réduite à celle d’une balle de ping-pong ou tellement compactée que la sphère alors obtenue puisse entrer dans un dé à coudre.

 

Pour la première fois, une équipe de mathématiciens et d’informaticiens du Centre national de la recherche scientifique (CNRS) de l’Université Grenoble-Alpes (UGA) et de l’Université Claude Bernard Lyon 1 (UCBL) a réussi à créer une image en trois dimensions (3D) d’une sphère réduite qui préserve les longueurs des courbes de la surface initiale.

 

Ce résultat* publié dans la revue Foundations of Computational Mathematics le 6 juillet 2017 est à peine croyable.

 

 

La sphère réduite, un objet réel mais contre-intuitif

 

 

En effet, comment concevoir qu’en exerçant une pression sur une balle de ping-pong celle-ci puisse être réduite sans poquer, c’est-à-dire sans se hérisser de pincements, de pointes et d’arêtes ? Rien que cela est déjà contre-intuitif et paraît invraisemblable.

 

Balle de ping-pong poquée versus sphère réduite non poquée. © Projet Hévéa

Balle de ping-pong poquée versus sphère réduite non poquée. © Projet Hévéa

Que la déformation de la sphère soit en plus isométrique – autrement dit, que les longueurs des courbes initiales comme celles qui relient Paris à New York ou Londres à Singapour soient conservées dans l’objet réduit – l’est encore plus.

 

Pourtant, dès les années 1950, les travaux de Nicolaas Kuiper et du prix Nobel John Forbes Nash ont démontré que cela était mathématiquement possible, moyennant d’imposer un peu moins de régularité à la surface. Nash a rajouté deux autres règles : la surface réduite ne doit présenter aucune coupure, ni déchirure. Seule latitude permise par le jeu mathématique ? Les points de croisements ou d’auto-intersection sont autorisés.

 

[…]

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